Анализ и теория асимптотического приближения

内容描述: Дисциплина "Анализ и теория асимптотического приближения" изучает методы приближённого анализа решений сложных математических задач, особенно дифференциальных уравнений, с помощью асимптотических методов. В центре внимания – исследование поведения решений при наличии малых параметров и предельных переходов. Основные техники включают разложения решений в асимптотические ряды, а также методы решения уравнений с регулярными и сингулярными возмущениями. Дисциплина важна для решения задач в физике, механике и инженерии, где точные решения зачастую недоступны.

贷款数: 5

Пререквизиты:

• Математический анализ 2

*СomplexityDiscipline(zh-CN)*:

零件: Компонент по выбору

循环次数: Базовые дисциплины

Цель

• изучение методов приближённого анализа сложных математических задач, в частности дифференциальных уравнений, при наличии малых параметров и исследование асимптотического поведения решений. Это позволяет эффективно решать задачи, для которых точные решения либо неизвестны, либо слишком сложны для вычисления.

Задача

• Изучить основные понятия и методы асимптотического анализа, такие как символы Ландау, асимптотические последовательности и ряды;
• Освоить методы разложения решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, включая метод степенных рядов;
• Проанализировать особенности решений дифференциальных уравнений с малым параметром, как для регулярно, так и для сингулярно возмущённых уравнений;
• Овладеть методами приближённого решения задач с помощью асимптотических методов, таких как метод пограничных функций для уравнений второго порядка;
• Развить навыки применения асимптотических методов к практическим задачам в математике, физике и инженерии.

Результат обучения: знание и понимание

• Обучающийся приобретает глубокие знания об основных понятиях и методах асимптотического анализа, включая теорию малых параметров, асимптотические разложения и методы решения дифференциальных уравнений. Понимает принципы построения приближённых решений и особенности поведения систем при предельных переходах.

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Обучающийся способен применять методы асимптотического анализа для решения практических задач в математике, физике и инженерии. Использует асимптотические разложения и методы пограничных функций для приближённых решений сложных дифференциальных уравнений, включая системы с малым параметром.

Результат обучения: формирование суждений

• Обучающийся умеет анализировать и оценивать применимость различных асимптотических методов для решения конкретных задач. Формирует обоснованные суждения о выборе подходящих методов для нахождения приближённых решений в зависимости от особенностей задачи.

Результат обучения: коммуникативные способности

• Обучающийся способен чётко и логично излагать результаты проведённого анализа, как в письменной, так и в устной форме. Умеет представлять математические идеи и методы коллегам и преподавателям, участвовать в обсуждениях, обмениваться знаниями и работать в группах.

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• Обучающийся развивает способности к самостоятельному изучению новых математических методов и теорий. Умеет эффективно использовать учебные материалы, решать задачи различной сложности и продолжать обучение на основе уже полученных знаний, совершенствуя свои навыки анализа и решения задач.

*TeachingMethods(zh-CN)*

Электронное обучение (e-learning): использование онлайн-платформ для доступа к образовательным ресурсам, таким как лекции, учебники, тесты и видеоуроки. Примеры: Moodle, Coursera, EdX.

Мобильное обучение (m-learning): обучение с использованием мобильных устройств, таких как смартфоны и планшеты. Это позволяет учащимся получать доступ к материалам в любое время и в любом месте.

Обучение через социальные сети и совместные платформы: использование социальных сетей, блогов, вики и других платформ для совместного обучения, обмена знаниями и взаимодействия с другими обучающимися и преподавателями

интерактивные технологии (с активными формами обучения: контролируемая беседа; модерация; мозговой штурм; мотивационная речь);

самостоятельная исследовательская работа студентов во время учебного процесса;

решение практических задач.

*AssessmentKnowledge(zh-CN)*

Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.

*PolicyAssignmentTask(zh-CN)*

*EvaluationForm(zh-CN)*

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Основные понятия асимптотического анализа. Основные асимптотические соотношения. Символы Ландау
• Асимптотические последовательности. Асимптотические ряды.
• Принцип максимума.
• Дифференцируемость решений по параметру. Об отыскании производных по параметру. Примеры нахождения производных по параметру от решений задач. Дифференцируемость решений по начальным условиям. Примеры нахождения производных по начальным условиям от решений задач
• Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений. Метод степенных рядов. Примеры построения решений в виде степенного ряда
• Разложения решения по степеням малого параметра. Примеры разложения решения по степеням малого параметра
• Асимптотический анализ решений дифференциальных уравнения с малым параметром
• Дифференциальные уравнения, регулярно зависящие от малого параметра.
• Дифференциальные уравнения 1-го порядка, сингулярно зависящие от малого параметра
• Дифференциальные уравнения 2-го порядка, сингулярно зависящие от малого параметра
• Метод пограничных функций построения асимптотических разложений для уравнения 2-го порядка
• Основные понятия. Регулярные и сингулярные возмущения
• Асимптотические последовательности и асимптотические ряды. Сравнение сходящихся и асимптотических рядов
• 14. Приближенное решение уравнений. Асимптотические приближения в невырожденном случае
• Решение уравнений в вырожденном случае

Основная литература

• Шалаумов В.А. Асимптотические методы в анализе / В.А. Шалаумов. – Кемерово: Изд-во КемГУ, 2012. – 88 с. Ильин А.М., Данилов А.Р.
• Копачевский Н.Д., Смолич В.П. Введение в асимптотические методы: Специальный курс лекций. – Симферополь: ТНУ, 2009 – 52 с.
• Ильин А. М., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 248 с. - ISBN 978-5-9221-1056-3.
• Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. – М.: Наука, 1978.
• Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды / М.В. Федорюк. – М.: Наука, 1987. – 544с.
• Брейн, Николас Говард де. Асимптотические методы в анализе [Текст] / Перевод с англ. М. А. Евграфова. - Москва : Изд-во иностр. лит., 1961. - 247 с.