Теоретико-числовые методы в криптографии

内容描述: Дисциплина является одной из основной профилирующей составляющей в подготовке специалистов в области защиты информации. В рамках дисциплины рассматриваются вопросы о теоретико-числовых принципах построения криптографических систем с симметричным и асимметричным ключом, математических методах расчета надежности, устойчивости криптографических систем, методах построения математических моделей защищаемой информации, шифров, криптографических систем и криптографических протоколов.

贷款数: 5

Пререквизиты:

• Дискретная математика

*СomplexityDiscipline(zh-CN)*:

零件: Вузовский компонент

循环次数: Базовые дисциплины

Цель

• изучение математических основ криптографии, математических методов построения криптографических систем, шифров и протоколов и методы расчета их надежности (криптостойкости).

Задача

• четкое осознание необходимости и важности математической подготовки для конкурентоспособного специалиста;
• ознакомление с основами классической и современной теории чисел, имеющими практические приложения к решению некоторых задачах профессиональной сферы;
• ознакомление обучающихся с математическими методами расчета надежности криптографических систем.

Результат обучения: знание и понимание

• основные свойства сравнений по модулю, алгоритмы проверки чисел на простоту и построения больших простых чисел; построение конечных полей; основные свойства групп и колец

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• применение расширенного алгоритма Евклида для быстрого нахождения НОД (целых чисел и многочленов) и обратных элементов в кольцах вычетов; решение линейных сравнений и уравнений в поле Галуа и в группе подстановок; определение разрешимости квадратичных сравнений

Результат обучения: формирование суждений

• логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь на языке обучения, грамотно применяя термины дисциплины

Результат обучения: коммуникативные способности

• готовить и редактировать тексты профессионального назначения, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии.

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• иметь навыки применения и разработки эффективных алгоритмов для решения прикладных задач; быть готовыми к применению в профессиональной деятельности работе математических методов и средств

*TeachingMethods(zh-CN)*

- лекции и онлайн-лекции, практические занятия с применением слайдов и других средств мультимедиа.

*AssessmentKnowledge(zh-CN)*

Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.

*PolicyAssignmentTask(zh-CN)*

*EvaluationForm(zh-CN)*

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Криптография. Платформа шифрования -- система с хорошо изученными операциями над её элементами. Отношение делимости на множестве целых чисел и его свойства. Деление целых чисел с остатком.
• Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Связь с НОД. Алгоритм Евклида для вычисления НОД. Оценки сложности алгоритма Евклида – через логарифмы по основанию 2 и 10 (теорема Ламе). Теорема о линейном представлении НОД.
• Простые и составные числа. Взаимные простые числа. Теорема Евклида о бесконечности простых чисел. Каноническое разложение на простые множители. Решето Эратосфена. Оценка на наименьший простой делитель составного числа.
• Критерий взаимной простоты. Наиболее важные свойства взаимно простых чисел. Попарно взаимно простые числа, их НОК. Мультипликативные функции. Примеры: степенная функции; функция Эйлера. Целая и дробная часть числа.
• Сравнимость целых чисел по модулю данного натурального числа. Разбиение на классы чисел, сравнимых по данному модулю – классы вычетов. Свойства сравнений с одинаковым модулем и с разными модулями.
• Кольцо вычетов по модулю данного числа. Правила для сложения и умножения, таблицы этих операций. Обратимые элементы в кольце вычетов по данному модулю.
• Малая теорема Ферма и её следствие. Теорема Эйлера. Применение теорем Эйлера и Ферма для отыскания обратного вычета к данному по модулю натурального числа. Понижение степеней сравнений.
• Группа подстановок. Чётные и нечётные подстановки Подгруппы. Порядок элемента и подгруппы. Циклические группы. Теорема Лагранжа.
• Неприводимые многочлены над полем вычетов по модулю простого числа. Конечные поля (поля Галуа). Цикличность мультипликативной группы поля Галуа. Дискретный логарифм.
• Сравнения первого порядка и системы сравнений. Китайская теорема об остатках.
• Сравнения высших порядков. Сведение к сравнениям по модулям степеней простых чисел. Поднятие решения сравнения по модулю простого числа до решения сравнения по модулю степени этого же числа.
• Символы Лежандра и Якоби. Определение разрешимости сравнений второй степени.
• Псевдослучайные последовательности над конечным полем, их применение в криптографии.
• Факторизация чисел. Тесты на простоту чисел. Генерация простых чисел. Генератор и дискретный логарифм.
• Числа Кармайкла. Алгоритмы определения простоты числа, умножения и возведения в степень.

Основная литература

• И.М. Виноградов Основы теории чисел. – М.: Наука, 2021. – 402 с.
• А.А. Бухштаб. Теория чисел. — С.-Пб. Лань, 2020, 384 с.
• Н. Н. Осипов. Теория чисел. — Красноярск: Изд. Сибирского федерального университета, 2008 г. 117 с.
• В.М. Фомичев. Дискретная математика и криптология. – М.: Диалог МИФИ, 2003. – 400 с.
• В.А. Романьков Введение в криптографию. Курс лекций. – М.: Форум, 2012. - 240 с.
• О.Н. Жданов, К.К. Елемесов. Сборник задач по криптографическим методам защиты информации: Учеб. пособие. – Алматы: КазНТУ имени К. И. Сатпаева, 2014. – 73 с.
• Е.Г. Кукина, В.А. Романьков Введение в криптографию. Сборник задач и упражнений. – Омск: Изд-во ОмГУ, 2013.
• Қ.Ә. Əбдіқалықов. Криптографияның негіздері: Оқулық. Алматы. 2012 ж. - 184 бет
• ОРАЗБАЕВ Б. М. Сандар теориясы. Алматы. "Мектеп" 1979. - 393 бет

Дополнительная литература

• В.И. Нечаев. Элементы криптографии, основы теории защиты информации, – М.: Высшая школа, 1999. –172 с.
• Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. – М.: Высшая школа. – 320 с.
• А.В. Рожков, О.В. Ниссенбаум. Теоретико-числовые методы в криптографии: Учебное пособие. – Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2007.
• Панкратова И.А. Теоретико-числовые методы криптографии: Учебное пособие. -Томск: Томский государственный университет, 2009. - 120 с.
• Рябко Б.Я., Фионов А.Н. Криптографические методы защиты информации: - М. Горячая линия -Телеком,р 2005.- 229с.