Теория разностных схем

Beschreibung: В рамках данной дисциплины изучаются свойства конечно-разностных схем, математический аппарат теории разностных схем, основные классы разностных схем, методы построения разностных схем для дифференциальных уравнений, прямые и итерационные методы решения сеточных уравнений.

Betrag der Credits: 5

Пререквизиты:

• Введение в теорию разностных схем

Arbeitsintensität der Disziplin:

Komponente: Компонент по выбору

Zyklus: Базовые дисциплины

Цель

• Получение и применение знаний и умений, практических навыков при изучении курсов математического моделирования, вычислительного практикума, связанных с математическим моделированием и обработкой наборов данных, решением конкретных задач из механики, физики и т.п

Задача

• Изучение основных понятий теории разностных схем, итерационных методов, применяемых для численной реализации разностных схем, а также получение базовых знаний по разностным схемам для дифференциальных уравнений

Результат обучения: знание и понимание

• Знать элементы теории разностных схем, разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• уметь разрабатывать численные методы и алгоритмы, реализовывать эти алгоритмы на языке программирования высокого уровня, использовать основные понятия и методы вычислительной математики, практически решать типичные задачи вычислительной математики, требующие выполнения небольшого объема вычислений.

Результат обучения: формирование суждений

• анализировать поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений, опираясь на результаты, полученные путём исследования

Результат обучения: коммуникативные способности

• Умение работать в команде в процессе решения практических задач механики, физики, естествознания и техники, высказывать и корректно отстаивать свою точку зрения в спорных вопросах.

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• Стремиться к профессиональному и личностному росту путем овладения приемами и навыками решения конкретных задач из разных областей дисциплины, помогающих в дальнейшем решать инженерно-производственные и научные задачи

Lehrmethoden

Проблемное обучение: Создание в учебной деятельности проблемных ситуаций и организация активной самостоятельной деятельности обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями, умениями, навыками, развиваются мыслительные способности. Информационно-коммуникационные технологии: Изменение и неограниченное обогащение содержания образования, использование интегрированных курсов, доступ в ИНТЕРНЕТ.

Bewertung des Wissens der Studierenden

Die Bewertungspolitik der Lernergebnisse nach Arbeitstyp

Bewertungsbogen

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Основные понятия теории разностных схем. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Сетки и сеточные функции. Погрешность аппроксимации на сетке. Постановка разностной задачи. О сходимости и точности схем. О понятии корректности разностной задачи. Устойчивость, аппроксимация и сходимость.
• Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Эйлера. Модифицированные методы Эйлера. Методы Рунге-Кутта. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения второго порядка. Метод конечных разностей. Метод прогонки. Устойчивость, оценка погрешности. Сходимость.
• Численные методы решения задач математической физики. Основные задачи математической физики. Разностные уравнения. Пространство сеточных функций. Разностные операторы. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа. Разностные формулы Грина. Свойства разностных операторов. Невязка. Устойчивость. Сходимость. Априорные оценки. Аппроксимация дифференциальной начально-краевой задачи разностной схемой. Шаблон.
• Математические вопросы разностных схем для уравнений параболического типа. Классы устойчивых двухслойных схем. Энергетическое тождество. Дискретизация одномерного уравнения теплопроводности. Шаблоны. Порядокразностной аппроксимации. Исследование устойчивости методом Фурье. Начально-краевые задачи. Семейство шеститочечных схем. Явная и неявная схемы.
• Разностные схемы для уравнений параболического типа. Начально-краевые задачи. Семейство шеститочечных схем. Явная и неявная схемы. Схема Кранка-Николсона. Порядок аппроксимации, устойчивость. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.
• Разностные схемы для уравнений гиперболического типа. Разностные схемы для уравнения колебания струны. Явная схема («крест»). Неявная схема (типа Кранка-Николсона). Порядок аппроксимации. Исследование устойчивости методом Фурье. Исследование устойчивости разностных схем для уравнения колебания.
• Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате. Аппроксимация. Однозначная разрешимость. Принцип максимума. Устойчивость.
• Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Сложная область. Связные и несвязные области. Метод установления. Явная и неявная схемы. Схема переменных направлений. Анализ явной схемы установления и анализ схемы переменных направлений.

Основная литература

• Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. – М.: Наука, 1971. – 553 с. 2. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983. – 616 с. 3. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1973. – 439с. 4. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М.: Наука, 1973. – 415 с. 5. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 592 с. 6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. – М.: Научный мир, 2000. – 315с. 7. Меркулова Н.Н., Михайлов М.Д. Разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений.-Томск, 2014. - 122с. 8. Ворожцов Е.В. Сборник задач по теории разностных схем. – Новосибирск, 2000. - 43с

Дополнительная литература

• Яненко Н.Н. Введение в разностные методы математической физики. – Новосибирск: Изд. НГУ, 1968. – Ч. I - II. – 388 с. 2. Меркулова Н.Н., Михайлов М.Д. Методы приближенных вычислений. –Томск. 2011. - 183 с. 3. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.-М.,Наука, 1984.-520 с. 5. Бояркин Д.И., Панюшкина Е.Н. Разностные схемы для задачи Коши модельного уравнения переноса. – Саранск: Издательство СВМО, 2017.-68с. 4. Вабищевич П.Н.Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом, 2010. - 320 с. 5. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло-массообмена. - М.: Наука. 1984, 1984-286 с. 6. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с. 7. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: Высш. шк, 2006. – 480 с. 8. Заусаев А.Ф. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. – Самара, 2010. – 100 с. 9. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992. – 423с.