Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений

Beschreibung: Процессы, описывающиеся дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, встречаются и в естественных, и в экономических науках. Учет временного лага при решении технических и экономических задач имеет важное значение, так как наличие лага может существенно повлиять на характер получаемых решений (например, при определенных условиях может привести к неустойчивости решений). Известно также, какую важную роль играет метод интегральных уравнений в теории колебаний, в задачах об устойчивости сжатых стержней и во многих других задачах. В курсе "Дополнительные главы дифференциальных уравнений" изучаются теоретические и практические вопросы из следующих разделов: дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, интегральные уравнения Вольтерра и Федгольма и методы их решения.

Betrag der Credits: 5

Пререквизиты:

• Анализ, теория численности и приближения

Arbeitsintensität der Disziplin:

Komponente: Компонент по выбору

Zyklus: Базовые дисциплины

Цель

• освоение теории и приложение их к решению дифференциальных и интегральных уравнений, систем дифференциальных уравнений и исследование вопросов устойчивости решений дифференциальных уравнений, овладение методами решения дифференциальных уравнений и интегральных уравнений

Задача

• сформировать знания о методах решения дифференциальных уравнений, умения применять их к решению прикладных задач

Результат обучения: знание и понимание

• Магистрант знает основные понятия теории дифференциальных уравнений, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Магистрант умеет решать задачи вычислительного и теоретического характера в области дифференциальных уравнений; интерпретировать полученные результаты.

Результат обучения: формирование суждений

• Магистрант умеет справляться со сложными задачами и выносить суждения на основе неполной или ограниченной информации с учетом этической и социальной ответственности за применения этих суждений и знаний.

Результат обучения: коммуникативные способности

• Магистрант умеет работать в коллективе для эффективного решения поставленных практических задач на основе приобретенных знаний по данной дисциплине

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• Магистрант владеет навыками приобретения новых знаний в профессиональной сфере и продолжения образования и повышения квалификации в профессиональной области в соответствии современным требованиям специальности.

Lehrmethoden

Основными формами обучения дисциплине являются тематические лекции, практические занятия, самостоятельная работа обучающегося под руководством преподавателя, консультации. Основными методами чтения лекций являются проблемное, диалогическое, персонифицированное изложения. В лекциях-визуализациях может быть использована визуальная форма подачи лекционного материала средствами ТСО, аудио-видеотехники, натуральных объектов, моделей, символической наглядности, мультимедиа и сводится к развернутому или краткому комментированию лектором этих материалов. Практические занятия являются групповой формой обучения и имеют целью закрепление теоретического материала. На них решеются типовые задачи и выполняются упражнения по темам курса. Практические занятия также могут проводиться с использованием мультимедийной и компьютерной техники и программного обеспечения.

Bewertung des Wissens der Studierenden

Die Bewertungspolitik der Lernergebnisse nach Arbeitstyp

Bewertungsbogen

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом Классификация дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Постановка начальной задачи
• Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Метод шагов
• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с запаздывающим аргументом
• Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
• Дифференциальные уравнения Бернулли с запаздывающим аргументом
• Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах с запаздывающим аргументом
• Приближенный метод разложения неизвестной функции с запаздывающим аргументом по степеням запаздывания
• Приближенный метод Пуанкаре
• Интегральные уравнения Вольтерра. Основные понятия и определения. Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра
• Итерированные ядра. Построение резольвенты уравнения Вольтерра с помощью итерированных ядер. Решение уравнений с помощью резольвенты
• Интегральные уравнения Фредгольма. Основные понятия и определения.
• Метод последовательных приближений
• Метод определителей Фредгольма
• Итерированные ядра. Построение резольвенты уравнения Фредгольма с помощью итерированных ядер. Решение уравнений с помощью резольвенты
• Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Основная литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 2015. Т1,2.
• Г. Мутанов, Н.Хисамиев, С.Тыныбекова. Проблемно-ориентированный курс дифференциальных уравнений для студентов технических вузов.-Усть-Каменогорск, 2008.
• В.В.Амельсин. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука, 2011.
• А.Н.Тихонов. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов. - М.:Лань, 2008.
• А.Ф.Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2010
• А.Б.Васильева, Г.Н.Медведев, А.Н.Тихонов. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. –М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.
• Интегральные уравнения: учебное пособие / О. В. Новоселов, Е. И. Яковлев, Р. В. Ульверт [и др.]. — Красноярск: Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева, 2020. — 122 c. — Текст: электронный // Цифровой образовательный ресурс IPR SMART: [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/107201.html (дата обращения: 25.12.2024). — Режим доступа: для авторизир. Пользователей
• Скопин, В. А. Функциональный анализ и интегральные уравнения: методические указания к самостоятельной работе / В. А. Скопин, И. А. Седых. — Липецк: Липецкий государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2012. — 17 c. — Текст: электронный // Цифровой образовательный ресурс IPR SMART: [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/55174.html (дата обращения: 25.12.2024). — Режим доступа: для авторизир. Пользователей
• Геворкян, Э. А. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом : учебное пособие / Э. А. Геворкян. — Москва : Евразийский открытый институт, 2011. — 155 c. — ISBN 978-5-374-00568-4. — Текст : электронный // Цифровой образовательный ресурс IPR SMART : [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/10662.html (дата обращения: 25.12.2024). — Режим доступа: для авторизир. пользователей

Дополнительная литература

• Данко И.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2010 ч.1,2.