Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений

Описание: Процессы, описывающиеся дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, встречаются и в естественных, и в экономических науках. Учет временного лага при решении технических и экономических задач имеет важное значение, так как наличие лага может существенно повлиять на характер получаемых решений (например, при определенных условиях может привести к неустойчивости решений). Известно также, какую важную роль играет метод интегральных уравнений в теории колебаний, в задачах об устойчивости сжатых стержней и во многих других задачах. В курсе "Дополнительные главы дифференциальных уравнений" изучаются теоретические и практические вопросы из следующих разделов: дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, интегральные уравнения Вольтерра и Федгольма и методы их решения.

Количество кредитов: 5

Пререквизиты:

• Анализ, теория численности и приближения

Трудоемкость дисциплины:

Компонент: Компонент по выбору

Цикл: Базовые дисциплины

Цель

• освоение теории и приложение их к решению дифференциальных и интегральных уравнений, систем дифференциальных уравнений и исследование вопросов устойчивости решений дифференциальных уравнений, овладение методами решения дифференциальных уравнений и интегральных уравнений

Задача

• сформировать знания о методах решения дифференциальных уравнений, умения применять их к решению прикладных задач

Результат обучения: знание и понимание

• Магистрант знает основные понятия теории дифференциальных уравнений, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Магистрант умеет решать задачи вычислительного и теоретического характера в области дифференциальных уравнений; интерпретировать полученные результаты.

Результат обучения: формирование суждений

• Магистрант умеет справляться со сложными задачами и выносить суждения на основе неполной или ограниченной информации с учетом этической и социальной ответственности за применения этих суждений и знаний.

Результат обучения: коммуникативные способности

• Магистрант умеет работать в коллективе для эффективного решения поставленных практических задач на основе приобретенных знаний по данной дисциплине

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• Магистрант владеет навыками приобретения новых знаний в профессиональной сфере и продолжения образования и повышения квалификации в профессиональной области в соответствии современным требованиям специальности.

Методы преподавания

Основными формами обучения дисциплине являются тематические лекции, практические занятия, самостоятельная работа обучающегося под руководством преподавателя, консультации. Основными методами чтения лекций являются проблемное, диалогическое, персонифицированное изложения. В лекциях-визуализациях может быть использована визуальная форма подачи лекционного материала средствами ТСО, аудио-видеотехники, натуральных объектов, моделей, символической наглядности, мультимедиа и сводится к развернутому или краткому комментированию лектором этих материалов. Практические занятия являются групповой формой обучения и имеют целью закрепление теоретического материала. На них решеются типовые задачи и выполняются упражнения по темам курса. Практические занятия также могут проводиться с использованием мультимедийной и компьютерной техники и программного обеспечения.

Оценка знаний обучающегося

Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.

Политика оценивания результатов обучения по видам работ

Форма оценки

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом Классификация дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
• Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с запаздывающим аргументом
• Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
• Дифференциальные уравнения Бернулли с запаздывающим аргументом
• Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах с запаздывающим аргументом
• Приближенный метод разложения неизвестной функции с запаздывающим аргументом по степеням запаздывания
• Приближенный метод Пуанкаре
• Интегральные уравнения Вольтерра
• Итерированные ядра
• Интегральные уравнения Фредгольма
• Метод последовательных приближений
• Метод определителей Фредгольма
• Итерированные ядра
• Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Основная литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 2015. Т1,2.
• Г. Мутанов, Н.Хисамиев, С.Тыныбекова. Проблемно-ориентированный курс дифференциальных уравнений для студентов технических вузов.-Усть-Каменогорск, 2008.
• В.В.Амельсин. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука, 2011.
• А.Н.Тихонов. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов. - М.:Лань, 2008.
• А.Ф.Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2010
• А.Б.Васильева, Г.Н.Медведев, А.Н.Тихонов. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. –М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.
• Интегральные уравнения: учебное пособие / О. В. Новоселов, Е. И. Яковлев, Р. В. Ульверт [и др.]. — Красноярск: Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева, 2020. — 122 c. — Текст: электронный // Цифровой образовательный ресурс IPR SMART: [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/107201.html (дата обращения: 25.12.2024). — Режим доступа: для авторизир. Пользователей
• Скопин, В. А. Функциональный анализ и интегральные уравнения: методические указания к самостоятельной работе / В. А. Скопин, И. А. Седых. — Липецк: Липецкий государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2012. — 17 c. — Текст: электронный // Цифровой образовательный ресурс IPR SMART: [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/55174.html (дата обращения: 25.12.2024). — Режим доступа: для авторизир. Пользователей
• Геворкян, Э. А. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом : учебное пособие / Э. А. Геворкян. — Москва : Евразийский открытый институт, 2011. — 155 c. — ISBN 978-5-374-00568-4. — Текст : электронный // Цифровой образовательный ресурс IPR SMART : [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/10662.html (дата обращения: 25.12.2024). — Режим доступа: для авторизир. пользователей

Дополнительная литература

• Данко И.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2010 ч.1,2.