Актуальные проблемы фундаментальных направлений математики

Beschreibung: В рамках данной дисциплины рассматриваются вопросы современной теории фундаментальных разделов математики: пространства Соболева, теоремы вложения, разрешимость краевых задач в соболевских пространствах, строго гиперболические операторы и условия Адамара, стохастические дифференциальные уравнения.

Betrag der Credits: 5

Пререквизиты:

• Анализ, теория численности и приближения

Arbeitsintensität der Disziplin:

Komponente: Вузовский компонент

Zyklus: Профилирующие дисциплины

Цель

• Приобретение современных знаний в области математики, знаний актуальных и перспективных задач науки, их системное понимание, а также умение применять современный математический аппарат для решения широкого класса задач науки и техники

Задача

• изучить топологические пространства, определение и примеры; • Изучить свойства отделимости, компактности, сепарабельности; непрерывные отображения; • рассмотреть диффузионные процессы; • изучить топологию для дискретной математики; • доказывать спектральную теорему; обратное и прямое уравнение Колмогорова.

Результат обучения: знание и понимание

• Знать и понимать основные современные методы математического анализа, функционального анализа, конструктивных моделей, математической логики, теории дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, теории управления, вычислительной математики

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Ставить новые научные задачи в области математики; применять современные математические методы при решении различных задач науки и техники

Результат обучения: формирование суждений

• Формулировать новые идеи в области математической логики, алгебры и теории чисел способность применять методы и результаты алгебры и математической логики и вычислительной математики при решении прикладных задач

Результат обучения: коммуникативные способности

• Чтения научной литературы на иностранном языке; использования новых информационных технологий в научных исследованиях

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• способность ставить и решать прикладные задачи с использованием современных информационно-коммуникационных технологий

Lehrmethoden

интерактивные технологии (с активными формами обучения: контролируемая беседа; модерация; мозговой штурм; мотивационная речь);

самостоятельная исследовательская работа обучающегося во время учебного процесса;

решение задач.

Bewertung des Wissens der Studierenden

Die Bewertungspolitik der Lernergebnisse nach Arbeitstyp

Bewertungsbogen

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Пространства Соболева.
• Теоремы вложения
• Краевые задачи на числовой прямой для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
• Краевые задачи на числовой прямой для линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка.
• Разрешимость краевых задач в соболевских пространствах. Функция Грина.
• Проблема корректности.Теоремы Коши-Ковалевской, Леви, Петровского.
• Строго гиперболические операторы и условия Адамара. Разделяющий оператор.
• Банаховы алгебры.
• Алгебры Фон-Неймана.
• Некоммутативный анализ операторов.
• Случайные функции. «Математический анализ» случайных функций.
• Стохастические интегралы: интеграл Ито; интеграл по мартингалу.
• Стохастические дифференциальные уравнения.
• Диффузонные процессы. Прямые и обратные уравнения Колмогрова.
• Связь диффузионных процессов с уравнениями в частных производных.

Основная литература

• Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. – М.: Наука, 2007. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М., 2004.
• Маслов В.П. Операторные методы. – М.: Наук, 1973
• Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 1996
• Колмогоров А.Н., Фомин С.Ф. Элементы теории функций и функционального анализа (7- издание) .– М.: Наука, 2009
• Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения.- Киев: Наукова думка, 2009.
• Аканбай Н. Основы теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов.- Алматы, «Қазақуниверситеті», 2007.
• Эллиотт Р.Стохастический анализ и его приложения. – М.: Мир, 1996
• Демиденко Г.В. Введение в теорию соболевских пространств. Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1995, 111 с.
• Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. – М.: Физматгиз, 1960
• Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М., 2004.
• Демиденко Г.В. Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. – Новосибирск: Научная книга, 1998