Actual problems of fundamental areas of mathematics

Description: This discipline are considered the issues of modern theory of fundamental branches of mathematics: Sobolev spaces, embedding theorems, solvability of boundary value problems in Sobolev spaces, strictly hyperbolic operators and Hadamard conditions, stochastic differential equations.

Amount of credits: 5

Пререквизиты:

• Analysis, number theory and approximation

Course Workload:

Component: University component

Cycle: Profiling disciplines

Goal

• Приобретение современных знаний в области математики, знаний актуальных и перспективных задач науки, их системное понимание, а также умение применять современный математический аппарат для решения широкого класса задач науки и техники

Objective

• изучить топологические пространства, определение и примеры; • Изучить свойства отделимости, компактности, сепарабельности; непрерывные отображения; • рассмотреть диффузионные процессы; • изучить топологию для дискретной математики; • доказывать спектральную теорему; обратное и прямое уравнение Колмогорова.

Learning outcome: knowledge and understanding

• Знать и понимать основные современные методы математического анализа, функционального анализа, конструктивных моделей, математической логики, теории дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, теории управления, вычислительной математики

Learning outcome: applying knowledge and understanding

• Ставить новые научные задачи в области математики; применять современные математические методы при решении различных задач науки и техники

Learning outcome: formation of judgments

• Формулировать новые идеи в области математической логики, алгебры и теории чисел способность применять методы и результаты алгебры и математической логики и вычислительной математики при решении прикладных задач

Learning outcome: communicative abilities

• Чтения научной литературы на иностранном языке; использования новых информационных технологий в научных исследованиях

Learning outcome: learning skills or learning abilities

• способность ставить и решать прикладные задачи с использованием современных информационно-коммуникационных технологий

Teaching methods

интерактивные технологии (с активными формами обучения: контролируемая беседа; модерация; мозговой штурм; мотивационная речь);

самостоятельная исследовательская работа обучающегося во время учебного процесса;

решение задач.

Assessment of the student's knowledge

Teacher oversees various tasks related to ongoing assessment and determines students' current performance twice during each academic period. Ratings 1 and 2 are formulated based on the outcomes of this ongoing assessment. The student's learning achievements are assessed using a 100-point scale, and the final grades P1 and P2 are calculated as the average of their ongoing performance evaluations. The teacher evaluates the student's work throughout the academic period in alignment with the assignment submission schedule for the discipline. The assessment system may incorporate a mix of written and oral, group and individual formats.

The evaluating policy of learning outcomes by work type

Evaluation form

The student's final grade in the course is calculated on a 100 point grading scale, it includes:

• 40% of the examination result;
• 60% of current control result.

The final grade is calculated by the formula:

 

Where Midterm 1, Midterm 2are digital equivalents of the grades of Midterm 1 and 2;

E is a digital equivalent of the exam grade.

Final alphabetical grade and its equivalent in points:

The letter grading system for students' academic achievements, corresponding to the numerical equivalent on a four-point scale:

Topics of lectures

• Пространства Соболева
• Теоремы вложения
• Краевые задачи на числовой прямой для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
• Краевые задачи на числовой прямой для линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка
• Разрешимость краевых задач в соболевских пространствах
• Проблема корректности
• Строго гиперболические операторы и условия Адамара
• Банаховы алгебры
• Алгебры Фон-Неймана
• Некоммутативный анализ операторов
• Случайные функции
• Стохастические интегралы: интеграл Ито; интеграл по мартингалу
• Стохастические дифференциальные уравнения
• Диффузонные процессы
• Связь диффузионных процессов с уравнениями в частных производных

Key reading

• Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. – М.: Наука, 2007. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М., 2004.
• Маслов В.П. Операторные методы. – М.: Наук, 1973
• Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 1996
• Колмогоров А.Н., Фомин С.Ф. Элементы теории функций и функционального анализа (7- издание) .– М.: Наука, 2009
• Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения.- Киев: Наукова думка, 2009.
• Аканбай Н. Основы теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов.- Алматы, «Қазақуниверситеті», 2007.
• Эллиотт Р.Стохастический анализ и его приложения. – М.: Мир, 1996
• Демиденко Г.В. Введение в теорию соболевских пространств. Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1995, 111 с.
• Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. – М.: Физматгиз, 1960
• Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М., 2004.
• Демиденко Г.В. Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. – Новосибирск: Научная книга, 1998