Дифференциальные и интегральные уравнения

内容描述: В курсе изучаются теоретические и практические вопросы из следующих разделов: устойчивость по Ляпунову, уравнения в частных производных первого порядка, ряды и интегралы Фурье, интегральные уравнения Вольтерра и Федгольма, задача Штурма-Лиувилля.

贷款数: 5

*СomplexityDiscipline(zh-CN)*:

*TypesOfClasses(zh-CN)*	*hours(zh-CN)*
*Lectures(zh-CN)*	45
*PracticalWork(zh-CN)*	45
*LaboratoryWork(zh-CN)*
*srop(zh-CN)*	30
*sro(zh-CN)*	30
*FormOfFinalControl(zh-CN)*	экзамен
*FinalAssessment(zh-CN)*

零件: Вузовский компонент

循环次数: Базовые дисциплины

Цель

• освоение теории и приложение их к решению дифференциальных и интегральных уравнений, систем дифференциальных уравнений и исследование вопросов устойчивости решений дифференциальных уравнений, овладение методами решения дифференциальных уравнений и интегральных уравнений

Задача

• формирование современных теоретических знаний в области обыкновенных дифференциальных уравнений и практических навыков в решении и исследовании основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.
• - обучение студентов основным методам решения обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений и использованию их при математическом моделировании физических, биологических и других процессов.
• - обучение фундаментальным методам современной количественной и качественной теории дифференциальных уравнений как средства математического моделирования.

Результат обучения: знание и понимание

• Знать определения, формулы и свойства основных понятий теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также методы их решения, составляющих математические модели прикладных задач технологических процессов с применением теории сравнения величин.

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Знания, полученные при изучении дисциплины «Дифференциальные и интегральные уравнения» успешно применять при решении прикладных задач, в составлении математических моделей различных задач и в сравнительном анализе данных .

Результат обучения: формирование суждений

• Формировать навыки принятия решений организационного и технологического характера в условиях неопределенностей с помощью математических методов.

Результат обучения: коммуникативные способности

• Владеть базовыми знаниями в области дифференциальных и интегральных уравнений, способствующих формированию высокообразованной личности с широким кругозором и культурой мышления для развития ключевых компетенции

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• Уметь осуществлять систематизированный сбор научно-технической информации, анализ отечественного и зарубежного опыта по математике для проведения исследовательских работ. Способность корректно и компактно представить знания в области профессии в математической форме с использованием элементов теории дифференциальных и интегральных уравнений.

*TeachingMethods(zh-CN)*

1. Информационно – коммуникационная технология; Технология развития критического мышления; Проектная технология; Технология интегрированного обучения; Технологии уровневой дифференциации; Групповые технологии; Традиционные технологии(лекционное, практическое занятия)

*AssessmentKnowledge(zh-CN)*

Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.

*Period2(zh-CN)*	*TypeOfTask(zh-CN)*	*Total(zh-CN)*
1  *Rating(zh-CN)*	Самостоятельная работа №1 по теме "Особые точки и положения равновесия. Устойчивость"	0-100
	Самостоятельная работа №2 по теме "Простейшие уравнения в частных производных"
	Опрос №1
	Рубежный контроль 1
2  *Rating(zh-CN)*	Самостоятельная работа №3 по теме "Интеrральные уравнения Вольтерра"	0-100
	Самостоятельная работа №4 по теме "Интеrральные уравнения Фредrольма"
	Опрос №2
	Рубежный контроль 2
*TotalControl(zh-CN)*	экзамен	0-100

*PolicyAssignmentTask(zh-CN)*

*TypeOfTask(zh-CN)*	90-100	70-89	50-69	0-49
	Excellent	*Grade4(zh-CN)*	*Grade3(zh-CN)*	*Grade2(zh-CN)*

*EvaluationForm(zh-CN)*

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

И= 0,6	Р1+Р2	+0,4Э
	2

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Оценка по буквенной системе	Цифровой эквивалент	Баллы (%-ное содержание)	Оценка по традиционной системе
A	4.0	95-100	Отлично
A-	3.67	90-94
B+	3.33	85-89	Хорошо
B	3.0	80-84
B-	2.67	75-79
C+	2.33	70-74
C	2.0	65-69	Удовлетворительно
C-	1.67	60-64
D+	1.33	55-59
D	1.0	50-54
FX	0.5	25-49	Неудовлетворительно
F	0	0-24

Темы лекционных занятий

• Понятие устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
• Устойчивость линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
• Классификация точек покоя однородной линейной системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
• Исследование на устойчивость по первому приближению.
• Функция Ляпунова. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова.
• Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Критерий первого интеграла. Общий интеграл. Существование общего интеграла.
• Уравнения в частных производных первого порядка.
• Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик.
• Общее решение и задача Коши для линейного однородного и квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.
• Линейные операторы в линейном нормированном пространстве. Ограниченный оператор. Непрерывность ограниченного оператора. Оценка нормы интегрального оператора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые операторы.
• Существование оператора, сопряжённого к интегральному оператору с непрерывным ядром.Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах.
• Итерированные ядра. Существование и единственность решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра и интегрального уравнения Вольтерра при любых значениях параметра.
• Принцип сжатых отображений. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром, эквивалентность такого интегрального уравнения системе линейных алгебраических уравнений. Альтернатива Фредгольма.
• Задача Штурма-Лиувилля. Эквивалентность задачи Штурма-Лиувилля однородному интегральному уравнению. Свойства собственных чисел и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.Теорема Стеклова о разложимости по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Условие положительности спектра задачи Штурма-Лиувилля.
• Метрические и линейные нормированные пространства. Полное метрическое и банахово пространство. Полнота пространства . Примеры неполных линейных нормированных пространств. Замкнутые системы в линейных нормированных пространствах. Евклидово пространство и гильбертово пространство
• Ряды Фурье по ортогональным и ортонормированным системам. Ортогонализация по Шмидту. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Критерий полноты и базисности ортонормированной системы.
• Метод средних арифметических (метод Фейера) суммируемости тригонометрических рядов Фурье. Теорема Фейера. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функции алгебраическими и тригонометрическими многочленами. Базисность системы и системы в пространстве .
• Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Базисность системы в пространстве . Свойства собственных чисел, характеристических чисел и собственных функций самосопряжённого интегрального оператора.
• Максимальная система характеристических чисел и соответствующая ортонормированная система собственных функций. Интеграл Фурье. Достаточные условия представления функции интегралом Фурье.
• Преобразование Фурье и его простейшие свойства. Косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье. Дифференциальные свойства оригинала и изображения для преобразования Фурье.
• Элементы теории обобщённых функций. Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным симметричным ядром. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении истокообразной функции. Формулы Шмидта для решения неоднородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром.
• Краевые задачи. Функция Грина линейной краевой задачи, её существование и единственность. Теорема Гильберта о решении краевой задачи с помощью функции Грина

Основная литература

• 1 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 2009. Т1,2 2 Бухарова Т.И., Камынин В.Л., Костин А.Б., Ткаченко Д.С. Курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учебное пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2011. 3. Волков В. Т., Ягола А. Г.Интегральные уравнения. вариационное исчисление.(курс лекций) 4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения (задачи и упражнения). − М.: Наука, 1976. 5.Мутанов Г.М.,.Хисамиев Н.Г, Тыныбекова С.Д.. Проблемно-ориентированный курс дифференциальных уравнений для студентов технических вузов.-Усть-Каменогорск, 2008. 6. Васильева А.Б., Тихонов А.Н.. Интегральные уравнения.–М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учебное пособие.-М.:Астрель-АСТ,2005. 8. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов А.Н.. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. –М.:ФИЗМАТЛИТ,2005. 9.Никольский С.М. Курс математического анализа. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 2013. 10. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. − Наука, 1979., 11. Бояркин Г.Н, Степанов В.Н, Рыженко Л. С., Ряды Фурье, преобразования Фурье, интеграл Фурье, Омск,2003