Дифференциальные и интегральные уравнения
Beschreibung: В курсе изучаются теоретические и практические вопросы из следующих разделов: устойчивость по Ляпунову, уравнения в частных производных первого порядка, ряды и интегралы Фурье, интегральные уравнения Вольтерра и Федгольма, задача Штурма-Лиувилля.
Betrag der Credits: 5
Arbeitsintensität der Disziplin:
| Unterrichtsarten | Uhr |
|---|---|
| Vorträge | 45 |
| Praktische Arbeiten | 45 |
| Laborarbeiten | |
| AASAL (Autonomes Arbeiten der Schüler unter Anleitung des Lehrers) | 30 |
| SE (Studentisches Eigenarbeiten) | 30 |
| Endkontrollformular | экзамен |
| Form der Endkontrolle |
Komponente: Вузовский компонент
Zyklus: Базовые дисциплины
Цель
- освоение теории и приложение их к решению дифференциальных и интегральных уравнений, систем дифференциальных уравнений и исследование вопросов устойчивости решений дифференциальных уравнений, овладение методами решения дифференциальных уравнений и интегральных уравнений
Задача
- формирование современных теоретических знаний в области обыкновенных дифференциальных уравнений и практических навыков в решении и исследовании основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.
- - обучение студентов основным методам решения обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений и использованию их при математическом моделировании физических, биологических и других процессов.
- - обучение фундаментальным методам современной количественной и качественной теории дифференциальных уравнений как средства математического моделирования.
Результат обучения: знание и понимание
- Знать определения, формулы и свойства основных понятий теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также методы их решения, составляющих математические модели прикладных задач технологических процессов с применением теории сравнения величин.
Результат обучения: применение знаний и пониманий
- Знания, полученные при изучении дисциплины «Дифференциальные и интегральные уравнения» успешно применять при решении прикладных задач, в составлении математических моделей различных задач и в сравнительном анализе данных .
Результат обучения: формирование суждений
- Формировать навыки принятия решений организационного и технологического характера в условиях неопределенностей с помощью математических методов.
Результат обучения: коммуникативные способности
- Владеть базовыми знаниями в области дифференциальных и интегральных уравнений, способствующих формированию высокообразованной личности с широким кругозором и культурой мышления для развития ключевых компетенции
Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе
- Уметь осуществлять систематизированный сбор научно-технической информации, анализ отечественного и зарубежного опыта по математике для проведения исследовательских работ. Способность корректно и компактно представить знания в области профессии в математической форме с использованием элементов теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Lehrmethoden
1. Информационно – коммуникационная технология; Технология развития критического мышления; Проектная технология; Технология интегрированного обучения; Технологии уровневой дифференциации; Групповые технологии; Традиционные технологии(лекционное, практическое занятия)
Bewertung des Wissens der Studierenden
| Period | Art der Aufgabe | Gesamt |
|---|---|---|
| 1 Bewertung | Самостоятельная работа №1 по теме "Особые точки и положения равновесия. Устойчивость" | 0-100 |
| Самостоятельная работа №2 по теме "Простейшие уравнения в частных производных" | ||
| Опрос №1 | ||
| Рубежный контроль 1 | ||
| 2 Bewertung | Самостоятельная работа №3 по теме "Интеrральные уравнения Вольтерра" | 0-100 |
| Самостоятельная работа №4 по теме "Интеrральные уравнения Фредrольма" | ||
| Опрос №2 | ||
| Рубежный контроль 2 | ||
| Endkontrolle | экзамен | 0-100 |
Die Bewertungspolitik der Lernergebnisse nach Arbeitstyp
| Art der Aufgabe | 90-100 | 70-89 | 50-69 | 0-49 |
|---|---|---|---|---|
| Exzellent | Gut | Befriedigend | Ungenügend |
Bewertungsbogen
Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:
- 40% результата, полученного на экзамене;
- 60% результатов текущей успеваемости.
Формула подсчета итоговой оценки:
| И= 0,6 | Р1+Р2 | +0,4Э |
| 2 |
где, Р1, Р2 – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.
Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:
Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:
| Оценка по буквенной системе | Цифровой эквивалент | Баллы (%-ное содержание) | Оценка по традиционной системе |
|---|---|---|---|
| A | 4.0 | 95-100 | Отлично |
| A- | 3.67 | 90-94 | |
| B+ | 3.33 | 85-89 | Хорошо |
| B | 3.0 | 80-84 | |
| B- | 2.67 | 75-79 | |
| C+ | 2.33 | 70-74 | |
| C | 2.0 | 65-69 | Удовлетворительно |
| C- | 1.67 | 60-64 | |
| D+ | 1.33 | 55-59 | |
| D | 1.0 | 50-54 | |
| FX | 0.5 | 25-49 | Неудовлетворительно |
| F | 0 | 0-24 |
Темы лекционных занятий
- Понятие устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Устойчивость линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- Классификация точек покоя однородной линейной системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- Исследование на устойчивость по первому приближению.
- Функция Ляпунова. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова.
- Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Критерий первого интеграла. Общий интеграл. Существование общего интеграла.
- Уравнения в частных производных первого порядка.
- Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик.
- Общее решение и задача Коши для линейного однородного и квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.
- Линейные операторы в линейном нормированном пространстве. Ограниченный оператор. Непрерывность ограниченного оператора. Оценка нормы интегрального оператора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые операторы.
- Существование оператора, сопряжённого к интегральному оператору с непрерывным ядром.Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах.
- Итерированные ядра. Существование и единственность решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра и интегрального уравнения Вольтерра при любых значениях параметра.
- Принцип сжатых отображений. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром, эквивалентность такого интегрального уравнения системе линейных алгебраических уравнений. Альтернатива Фредгольма.
- Задача Штурма-Лиувилля. Эквивалентность задачи Штурма-Лиувилля однородному интегральному уравнению. Свойства собственных чисел и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.Теорема Стеклова о разложимости по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Условие положительности спектра задачи Штурма-Лиувилля.
- Метрические и линейные нормированные пространства. Полное метрическое и банахово пространство. Полнота пространства . Примеры неполных линейных нормированных пространств. Замкнутые системы в линейных нормированных пространствах. Евклидово пространство и гильбертово пространство
- Ряды Фурье по ортогональным и ортонормированным системам. Ортогонализация по Шмидту. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Критерий полноты и базисности ортонормированной системы.
- Метод средних арифметических (метод Фейера) суммируемости тригонометрических рядов Фурье. Теорема Фейера. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функции алгебраическими и тригонометрическими многочленами. Базисность системы и системы в пространстве .
- Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Базисность системы в пространстве . Свойства собственных чисел, характеристических чисел и собственных функций самосопряжённого интегрального оператора.
- Максимальная система характеристических чисел и соответствующая ортонормированная система собственных функций. Интеграл Фурье. Достаточные условия представления функции интегралом Фурье.
- Преобразование Фурье и его простейшие свойства. Косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье. Дифференциальные свойства оригинала и изображения для преобразования Фурье.
- Элементы теории обобщённых функций. Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным симметричным ядром. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении истокообразной функции. Формулы Шмидта для решения неоднородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром.
- Краевые задачи. Функция Грина линейной краевой задачи, её существование и единственность. Теорема Гильберта о решении краевой задачи с помощью функции Грина
Основная литература
- 1 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 2009. Т1,2 2 Бухарова Т.И., Камынин В.Л., Костин А.Б., Ткаченко Д.С. Курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учебное пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2011. 3. Волков В. Т., Ягола А. Г.Интегральные уравнения. вариационное исчисление.(курс лекций) 4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения (задачи и упражнения). − М.: Наука, 1976. 5.Мутанов Г.М.,.Хисамиев Н.Г, Тыныбекова С.Д.. Проблемно-ориентированный курс дифференциальных уравнений для студентов технических вузов.-Усть-Каменогорск, 2008. 6. Васильева А.Б., Тихонов А.Н.. Интегральные уравнения.–М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учебное пособие.-М.:Астрель-АСТ,2005. 8. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов А.Н.. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. –М.:ФИЗМАТЛИТ,2005. 9.Никольский С.М. Курс математического анализа. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 2013. 10. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. − Наука, 1979., 11. Бояркин Г.Н, Степанов В.Н, Рыженко Л. С., Ряды Фурье, преобразования Фурье, интеграл Фурье, Омск,2003
