Введение в теорию разностных схем

内容描述: Содержание дисциплины охватывает изучение следующих вопросов: разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов, математические вопросы устойчивости, аппроксимации и сходимости. Применение теории разностных схем в решении задач газовой динамики, физики плазмы и экологии имеет важное прикладное значение в естествознании.

贷款数: 6

Пререквизиты:

• Математический анализ 2

*СomplexityDiscipline(zh-CN)*:

零件: Компонент по выбору

循环次数: Профилирующие дисциплины

Цель

• Целью изучения дисциплины является получение обучающимися базовых знаний по теории разностных схем, а также расширение общематематического и общефизического кругозора, обеспечивающего высокий уровень компетенции в будущей профессиональной деятельности

Задача

• Изучение основных понятий теории разностных схем, итерационных методов, применяемых для численной реализации разностных схем, а также получение базовых знаний по разностным схемам для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результат обучения: знание и понимание

• знает и понимает основные определения и понятия изучаемого раздела математики: элементы теории разностных схем, разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• применять полученные знания и умения в построении разностных схем для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, строить итерационные методы, предназначенные для реализации разностных схем.

Результат обучения: формирование суждений

• Умение на основе имеющихся знаний дисциплины делать выводы о возможных методах анализа и решения практических задач в специальной области;

Результат обучения: коммуникативные способности

• Умение работать в коллективе для эффективного решения поставленных практических задач на основе знаний математических методов;

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• способность ставить и решать прикладные задачи с использованием современных информационно-коммуникационных технологий;

*TeachingMethods(zh-CN)*

Проблемное обучение: Создание в учебной деятельности проблемных ситуаций и организация активной самостоятельной деятельности обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями, умениями, навыками, развиваются мыслительные способности. Информационно-коммуникационные технологии: Изменение и неограниченное обогащение содержания образования, использование интегрированных курсов, доступ в ИНТЕРНЕТ.

*AssessmentKnowledge(zh-CN)*

Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.

*PolicyAssignmentTask(zh-CN)*

*EvaluationForm(zh-CN)*

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Основные понятия теории разностных схем. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Сетки и сеточные функции. Погрешность аппроксимации на сетке. Постановка разностной задачи. О сходимости и точности схем. О понятии корректности разностной задачи. Устойчивость, аппроксимация и сходимость.
• Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Эйлера. Модифицированные методы Эйлера. Методы Рунге-Кутта. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения второго порядка. Метод конечных разностей. Метод прогонки. Устойчивость, оценка погрешности. Сходимость.
• Численные методы решения задач математической физики. Основные задачи математической физики. Разностные уравнения. Пространство сеточных функций. Разностные операторы. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа. Разностные формулы Грина. Свойства разностных операторов. Невязка. Устойчивость. Сходимость. Априорные оценки. Аппроксимация дифференциальной начально-краевой задачи разностной схемой. Шаблон.
• Математические вопросы разностных схем для уравнений параболического типа. Классы устойчивых двухслойных схем. Энергетическое тождество. Дискретизация одномерного уравнения теплопроводности. Шаблоны. Порядокразностной аппроксимации. Исследование устойчивости методом Фурье. Начально-краевые задачи. Семейство шеститочечных схем. Явная и неявная схемы.
• Разностные схемы для уравнений параболического типа. Начально-краевые задачи. Семейство шеститочечных схем. Явная и неявная схемы. Схема Кранка-Николсона. Порядок аппроксимации, устойчивость. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.
• Разностные схемы для уравнений гиперболического типа Разностные схемы для уравнения колебания струны. Явная схема («крест»). Неявная схема (типа Кранка-Николсона). Порядок аппроксимации. Исследование устойчивости методом Фурье. Исследование устойчивости разностных схем для уравнения колебания.
• Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате. Аппроксимация. Однозначная разрешимость. Принцип максимума. Устойчивость.
• Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Сложная область. Связные и несвязные области. Метод установления. Явная и неявная схемы. Схема переменных направлений. Анализ явной схемы установления и анализ схемы переменных направлений.

Основная литература

• Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. – М.: Наука, 1971. – 553 с.
• Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983. – 616 с.
• Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1973. – 439с.
• Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М.: Наука, 1973. – 415 с.
• Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 592 с.
• Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. – М.: Научный мир, 2000. – 315с.
• Меркулова Н.Н., Михайлов М.Д. Разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений.-Томск, 2014. - 122с.
• Ворожцов Е.В. Сборник задач по теории разностных схем. – Новосибирск, 2000. - 43с.

Дополнительная литература

• Яненко Н.Н. Введение в разностные методы математической физики. – Новосибирск: Изд. НГУ, 1968. – Ч. I - II. – 388 с.
• Меркулова Н.Н., Михайлов М.Д. Методы приближенных вычислений. –Томск. 2011. - 183 с.
• Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.-М.,Наука, 1984.-520 с. 5. Бояркин Д.И., Панюшкина Е.Н. Разностные схемы для задачи Коши модельного уравнения переноса. – Саранск: Издательство СВМО, 2017.-68с.
• Вабищевич П.Н.Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом, 2010. - 320 с.
• Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло-массообмена. - М.: Наука. 1984, 1984-286 с.
• Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.
• Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: Высш. шк, 2006. – 480 с.
• Заусаев А.Ф. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. – Самара, 2010. – 100 с.
• Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992. – 423с.