Analysis, number theory and approximation
Description: Во многих реальных задачах невозможно получить точные аналитические решения, например, при моделировании сложных физических, биологических или экономических систем. Численные методы и приближенные решения позволяют справляться с задачами, которые иначе были бы неразрешимы. Теория численности помогает анализировать устойчивость и сходимость численных методов. Важно знать, как ошибки накапливаются и как их можно минимизировать. Многие реальные системы можно описать с помощью математических моделей, которые сложно анализировать напрямую. Теория приближений позволяет найти упрощенные версии таких моделей, которые дают достаточно точные результаты, сохраняя основные характеристики. Исходя из этого рассматриваются вопросы аппроксимации и интерполирования функций и с их помощью решения прикладных задач
Amount of credits: 5
Пререквизиты:
- Mathematical Analysis 2
Course Workload:
Types of classes | hours |
---|---|
Lectures | 15 |
Practical works | 30 |
Laboratory works | |
SAWTG (Student Autonomous Work under Teacher Guidance) | 30 |
SAW (Student autonomous work) | 75 |
Form of final control | Exam |
Final assessment method |
Component: University component
Cycle: Base disciplines
Goal
- Целью данной дисциплины является развитие у обучающихся теоретических и практических навыков в области численных методов и теории приближений, необходимых для решения сложных математических задач, которые не имеют аналитических решений. Это включает обучение эффективным подходам для разработки алгоритмов, анализа их сходимости, устойчивости и точности, а также применению методов для моделирования реальных процессов в различных областях науки и техники.
Objective
- Освоение методов аппроксимации и интерполирования функций, численного интегрирования и дифференцирования.
- Овладение основами программирования численных алгоритмов с использованием современных программных пакетов и языков (например, Python, MATLAB, C++).
- Применение вычислительных методов для решения задач в различных предметных областях.
Learning outcome: knowledge and understanding
- владение фундаментальными разделами математики, необходимыми для решения научно-исследовательских и практических задач в профессиональной области
- оперировать современными образовательными и информационными технологиями;
Learning outcome: applying knowledge and understanding
- Применение математических методов, необходимых для анализа теоретических, прикладных задач и разработки решений
Learning outcome: formation of judgments
- Представлять математические идеи в письменной форме, в форме представления, демонстрируя свои способности в критическом анализе и количественном обосновании глобальных проблем
Learning outcome: communicative abilities
- владение навыками использования программных средств и работы в компьютерных сетях;
- владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации
- работать в составе научно-исследовательского и производственного коллектива и решать задачи профессиональной деятельности.
Learning outcome: learning skills or learning abilities
- способность самостоятельно изучать новые научные публикации по математическому моделированию и смежным разделам математики.
Teaching methods
Проблемное обучение: создание в учебной деятельности проблемных ситуаций и организация активной самостоятельной деятельности обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями, умениями, навыками, развиваются мыслительные способности;
Информационно-коммуникационные технологии: изменение и неограниченное обогащение содержания образования, использование интегрированных курсов, доступ в ИНТЕРНЕТ.
Assessment of the student's knowledge
Teacher oversees various tasks related to ongoing assessment and determines students' current performance twice during each academic period. Ratings 1 and 2 are formulated based on the outcomes of this ongoing assessment. The student's learning achievements are assessed using a 100-point scale, and the final grades P1 and P2 are calculated as the average of their ongoing performance evaluations. The teacher evaluates the student's work throughout the academic period in alignment with the assignment submission schedule for the discipline. The assessment system may incorporate a mix of written and oral, group and individual formats.
Period | Type of task | Total |
---|---|---|
1 rating | Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона | 0-100 |
Интерполяция сплайнами. Тригонометрическая интерполяция. | ||
2 rating | Метод наименьших квадратов. | 0-100 |
Численное дифференцирование и интегрирование | ||
Total control | Exam | 0-100 |
The evaluating policy of learning outcomes by work type
Type of task | 90-100 | 70-89 | 50-69 | 0-49 |
---|---|---|---|---|
Excellent | Good | Satisfactory | Unsatisfactory | |
Работа на практических занятиях и выполнение самостоятельной паботы | выполнил практическую работу в полном объеме с соблюдением необходимой последовательности действий; в ответе правильно и аккуратно выполняет все записи, таблицы, рисунки, чертежи, графики, вычисления; правильно выполняет анализ ошибок. При ответе на вопросы правильно понимает сущность вопроса, дает точное определение и истолкование основных понятий; сопровождает ответ новыми примерами, умеет применить знания в новой ситуации; может установить связь между изучаемым и ранее изученным материалом, а также с материалом, усвоенным при изучении других дисциплин. | выполнил требования к оценке «5», но допущены 2-3 недочета. Ответ обучающегося на вопросы удовлетворяет основным требованиям к ответу на 5, но дан без применения знаний в новой ситуации, без использования связей с ранее изученным материалом и материалом, усвоенным при изучении других дисциплин; допущены одна ошибка или не более двух недочетов, обучающийся может их исправить самостоятельно или с небольшой помощью преподавателя | выполнил работу не полностью, но не менее 50% объема практической работы, что позволяет получить правильные результаты и выводы; в ходе проведения работы были допущены ошибки. При ответе на вопросы обучающийся правильно понимает сущность вопроса, но в ответе имеются отдельные проблемы в усвоении вопросов курса, не препятствующие дальнейшему усвоению программного материала; допущено не более одной грубой ошибки и двух недочетов | выполнил работу не полностью или объем выполненной части работ не позволяет сделать правильных выводов. При ответе на вопросы демонстрирует не владение основными знаниями и умениями в соответствии с требованиями программы; допущены больше ошибок и недочетов, чем необходимо для оценки 3 или не может ответить ни на один из поставленных вопросов. |
Evaluation form
The student's final grade in the course is calculated on a 100 point grading scale, it includes:
- 40% of the examination result;
- 60% of current control result.
The final grade is calculated by the formula:
FG = 0,6 | MT1+MT2 | +0,4E |
2 |
Where Midterm 1, Midterm 2are digital equivalents of the grades of Midterm 1 and 2;
E is a digital equivalent of the exam grade.
Final alphabetical grade and its equivalent in points:
The letter grading system for students' academic achievements, corresponding to the numerical equivalent on a four-point scale:
Alphabetical grade | Numerical value | Points (%) | Traditional grade |
---|---|---|---|
A | 4.0 | 95-100 | Excellent |
A- | 3.67 | 90-94 | |
B+ | 3.33 | 85-89 | Good |
B | 3.0 | 80-84 | |
B- | 2.67 | 75-79 | |
C+ | 2.33 | 70-74 | |
C | 2.0 | 65-69 | Satisfactory |
C- | 1.67 | 60-64 | |
D+ | 1.33 | 55-59 | |
D | 1.0 | 50-54 | |
FX | 0.5 | 25-49 | Unsatisfactory |
F | 0 | 0-24 |
Topics of lectures
- Численные методы теории приближений
- Полиномиальное интерполирование
- Интерполяционный многочлен Лагранжа
- Интерполяционный многочлен Ньютона
- Интерполяция сплайнами
- Интерполяционный кубический сплайн
- Интерполяция методом наименьших квадратов
- Аппроксимация функции полиномами Чебышева
- Тригонометрическая интерполяция
- Численное дифференцирование
- Численное интегрирование
- Простейшие квадратурные формулы
- Формула трапеции
- Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве
- Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении
Key reading
- 1. Спивак М. Математический анализ на много-образиях СПб.: Лань, 2005.- 160 с. 2. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий М: Мир, 2003-328 с. 3. Рудин У. Основы математического анализа М.: Мир, 2006-400 с 4. Шалаумов В.А. Асимптотические методы в анализе / В.А. Шалаумов. – Кемерово: Изд-во КемГУ, 2012. – 88 с. 5. Ильин А.М., Данилов А.Р. Асимптотические методы в анализе / А.М. Ильин, А.Р. Данилин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 248 с. 6. Копачевский Н.Д., Смолич В.П. Конспект лекций по специальному курсу "Введение в асимптотические методы". -Симферополь, 2009.-52 с.
- Даугавет И. К. Д21. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. —. 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 288 с.: ил. ISBN 5-94157-737-0.
- Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Учебное пособие. Л., Изд-во Ленинrр. ун-та, 1977. 184 с.
- Гулевич Д.Р., Залипаев В.В., Численные методы в физике и технике– СПб:Университет ИТМО, 2020. – 211 с.
- Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков.-7-е изд.-М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,2011.-636 с.
- Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989
- Бахвалов Н.С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000.