Анализ, теория численности и приближения
内容描述: Во многих реальных задачах невозможно получить точные аналитические решения, например, при моделировании сложных физических, биологических или экономических систем. Численные методы и приближенные решения позволяют справляться с задачами, которые иначе были бы неразрешимы. Теория численности помогает анализировать устойчивость и сходимость численных методов. Важно знать, как ошибки накапливаются и как их можно минимизировать. Многие реальные системы можно описать с помощью математических моделей, которые сложно анализировать напрямую. Теория приближений позволяет найти упрощенные версии таких моделей, которые дают достаточно точные результаты, сохраняя основные характеристики. Исходя из этого рассматриваются вопросы аппроксимации и интерполирования функций и с их помощью решения прикладных задач
贷款数: 5
Пререквизиты:
- Математический анализ 2
*СomplexityDiscipline(zh-CN)*:
| *TypesOfClasses(zh-CN)* | *hours(zh-CN)* |
|---|---|
| *Lectures(zh-CN)* | 15 |
| *PracticalWork(zh-CN)* | 30 |
| *LaboratoryWork(zh-CN)* | |
| *srop(zh-CN)* | 30 |
| *sro(zh-CN)* | 75 |
| *FormOfFinalControl(zh-CN)* | экзамен |
| *FinalAssessment(zh-CN)* |
零件: Вузовский компонент
循环次数: Базовые дисциплины
Цель
- Целью данной дисциплины является развитие у обучающихся теоретических и практических навыков в области численных методов и теории приближений, необходимых для решения сложных математических задач, которые не имеют аналитических решений. Это включает обучение эффективным подходам для разработки алгоритмов, анализа их сходимости, устойчивости и точности, а также применению методов для моделирования реальных процессов в различных областях науки и техники.
Задача
- Освоение методов аппроксимации и интерполирования функций, численного интегрирования и дифференцирования.
- Овладение основами программирования численных алгоритмов с использованием современных программных пакетов и языков (например, Python, MATLAB, C++).
- Применение вычислительных методов для решения задач в различных предметных областях.
Результат обучения: знание и понимание
- владение фундаментальными разделами математики, необходимыми для решения научно-исследовательских и практических задач в профессиональной области
- оперировать современными образовательными и информационными технологиями;
Результат обучения: применение знаний и пониманий
- Применение математических методов, необходимых для анализа теоретических, прикладных задач и разработки решений
Результат обучения: формирование суждений
- Представлять математические идеи в письменной форме, в форме представления, демонстрируя свои способности в критическом анализе и количественном обосновании глобальных проблем
Результат обучения: коммуникативные способности
- владение навыками использования программных средств и работы в компьютерных сетях;
- владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации
- работать в составе научно-исследовательского и производственного коллектива и решать задачи профессиональной деятельности.
Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе
- способность самостоятельно изучать новые научные публикации по математическому моделированию и смежным разделам математики.
*TeachingMethods(zh-CN)*
Проблемное обучение: создание в учебной деятельности проблемных ситуаций и организация активной самостоятельной деятельности обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями, умениями, навыками, развиваются мыслительные способности;
Информационно-коммуникационные технологии: изменение и неограниченное обогащение содержания образования, использование интегрированных курсов, доступ в ИНТЕРНЕТ.
*AssessmentKnowledge(zh-CN)*
Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.
| *Period2(zh-CN)* | *TypeOfTask(zh-CN)* | *Total(zh-CN)* |
|---|---|---|
| 1 *Rating(zh-CN)* | Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона | 0-100 |
| Интерполяция сплайнами. Тригонометрическая интерполяция. | ||
| 2 *Rating(zh-CN)* | Метод наименьших квадратов. | 0-100 |
| Численное дифференцирование и интегрирование | ||
| *TotalControl(zh-CN)* | экзамен | 0-100 |
*PolicyAssignmentTask(zh-CN)*
| *TypeOfTask(zh-CN)* | 90-100 | 70-89 | 50-69 | 0-49 |
|---|---|---|---|---|
| Excellent | *Grade4(zh-CN)* | *Grade3(zh-CN)* | *Grade2(zh-CN)* | |
| Работа на практических занятиях и выполнение самостоятельной паботы | выполнил практическую работу в полном объеме с соблюдением необходимой последовательности действий; в ответе правильно и аккуратно выполняет все записи, таблицы, рисунки, чертежи, графики, вычисления; правильно выполняет анализ ошибок. При ответе на вопросы правильно понимает сущность вопроса, дает точное определение и истолкование основных понятий; сопровождает ответ новыми примерами, умеет применить знания в новой ситуации; может установить связь между изучаемым и ранее изученным материалом, а также с материалом, усвоенным при изучении других дисциплин. | выполнил требования к оценке «5», но допущены 2-3 недочета. Ответ обучающегося на вопросы удовлетворяет основным требованиям к ответу на 5, но дан без применения знаний в новой ситуации, без использования связей с ранее изученным материалом и материалом, усвоенным при изучении других дисциплин; допущены одна ошибка или не более двух недочетов, обучающийся может их исправить самостоятельно или с небольшой помощью преподавателя | выполнил работу не полностью, но не менее 50% объема практической работы, что позволяет получить правильные результаты и выводы; в ходе проведения работы были допущены ошибки. При ответе на вопросы обучающийся правильно понимает сущность вопроса, но в ответе имеются отдельные проблемы в усвоении вопросов курса, не препятствующие дальнейшему усвоению программного материала; допущено не более одной грубой ошибки и двух недочетов | выполнил работу не полностью или объем выполненной части работ не позволяет сделать правильных выводов. При ответе на вопросы демонстрирует не владение основными знаниями и умениями в соответствии с требованиями программы; допущены больше ошибок и недочетов, чем необходимо для оценки 3 или не может ответить ни на один из поставленных вопросов. |
*EvaluationForm(zh-CN)*
Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:
- 40% результата, полученного на экзамене;
- 60% результатов текущей успеваемости.
Формула подсчета итоговой оценки:
| И= 0,6 | Р1+Р2 | +0,4Э |
| 2 |
где, Р1, Р2 – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.
Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:
Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:
| Оценка по буквенной системе | Цифровой эквивалент | Баллы (%-ное содержание) | Оценка по традиционной системе |
|---|---|---|---|
| A | 4.0 | 95-100 | Отлично |
| A- | 3.67 | 90-94 | |
| B+ | 3.33 | 85-89 | Хорошо |
| B | 3.0 | 80-84 | |
| B- | 2.67 | 75-79 | |
| C+ | 2.33 | 70-74 | |
| C | 2.0 | 65-69 | Удовлетворительно |
| C- | 1.67 | 60-64 | |
| D+ | 1.33 | 55-59 | |
| D | 1.0 | 50-54 | |
| FX | 0.5 | 25-49 | Неудовлетворительно |
| F | 0 | 0-24 |
Темы лекционных занятий
- Численные методы теории приближений. Общая постановка задачи и классификация методов.
- Полиномиальное интерполирование. Оценка погрешности интерполирования
- Интерполяционный многочлен Лагранжа. Конечные разности. Разделенные разности
- Интерполяционный многочлен Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона на неравномерной сетке
- Интерполяция сплайнами
- Интерполяционный кубический сплайн
- Интерполяция методом наименьших квадратов. Постановка задачи. Метод наименьших квадратов. Методика решения задачи сглаживания
- Аппроксимация функции полиномами Чебышева
- Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье
- Численное дифференцирование
- Численное интегрирование. Общие интерполяционные квадратурные формулы
- Простейшие квадратурные формулы. Формула прямоугольника
- Формула трапеции. Формула Симпсона. Методика вычисления интеграла с заданной точностью
- Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве
- Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении
Основная литература
- Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения Изд-во "Лань", 2022. -400 с
- Даугавет И. К. Д21. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. —. 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 288 с.: ил. ISBN 5-94157-737-0.
- Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Учебное пособие. Л., Изд-во Ленинrр. ун-та, 1977. 184 с.
- Гулевич Д.Р., Залипаев В.В., Численные методы в физике и технике– СПб:Университет ИТМО, 2020. – 211 с.
- Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков.-7-е изд.-М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,2011.-636 с.
- Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989
- Бахвалов Н.С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000.
