Анализ, теория численности и приближения

Описание: Во многих реальных задачах невозможно получить точные аналитические решения, например, при моделировании сложных физических, биологических или экономических систем. Численные методы и приближенные решения позволяют справляться с задачами, которые иначе были бы неразрешимы. Теория численности помогает анализировать устойчивость и сходимость численных методов. Важно знать, как ошибки накапливаются и как их можно минимизировать. Многие реальные системы можно описать с помощью математических моделей, которые сложно анализировать напрямую. Теория приближений позволяет найти упрощенные версии таких моделей, которые дают достаточно точные результаты, сохраняя основные характеристики. Исходя из этого рассматриваются вопросы аппроксимации и интерполирования функций и с их помощью решения прикладных задач

Количество кредитов: 5

Пререквизиты:

• Математический анализ 2

Трудоемкость дисциплины:

Виды работ	часы
Лекции	15
Практические работы	30
Лабораторные работы
СРОП	30
СРО	75
Форма итогового контроля	экзамен
Форма проведения итогового контроля

Компонент: Вузовский компонент

Цикл: Базовые дисциплины

Цель

• Целью данной дисциплины является развитие у обучающихся теоретических и практических навыков в области численных методов и теории приближений, необходимых для решения сложных математических задач, которые не имеют аналитических решений. Это включает обучение эффективным подходам для разработки алгоритмов, анализа их сходимости, устойчивости и точности, а также применению методов для моделирования реальных процессов в различных областях науки и техники.

Задача

• Освоение методов аппроксимации и интерполирования функций, численного интегрирования и дифференцирования.
• Овладение основами программирования численных алгоритмов с использованием современных программных пакетов и языков (например, Python, MATLAB, C++).
• Применение вычислительных методов для решения задач в различных предметных областях.

Результат обучения: знание и понимание

• владение фундаментальными разделами математики, необходимыми для решения научно-исследовательских и практических задач в профессиональной области
• оперировать современными образовательными и информационными технологиями;

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Применение математических методов, необходимых для анализа теоретических, прикладных задач и разработки решений

Результат обучения: формирование суждений

• Представлять математические идеи в письменной форме, в форме представления, демонстрируя свои способности в критическом анализе и количественном обосновании глобальных проблем

Результат обучения: коммуникативные способности

• владение навыками использования программных средств и работы в компьютерных сетях;
• владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации
• работать в составе научно-исследовательского и производственного коллектива и решать задачи профессиональной деятельности.

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• способность самостоятельно изучать новые научные публикации по математическому моделированию и смежным разделам математики.

Методы преподавания

Проблемное обучение: создание в учебной деятельности проблемных ситуаций и организация активной самостоятельной деятельности обучающихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями, умениями, навыками, развиваются мыслительные способности;

Информационно-коммуникационные технологии: изменение и неограниченное обогащение содержания образования, использование интегрированных курсов, доступ в ИНТЕРНЕТ.

Оценка знаний обучающегося

Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.

Период	Вид задания	Итого
1  рейтинг	Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона	0-100
	Интерполяция сплайнами. Тригонометрическая интерполяция.
2  рейтинг	Метод наименьших квадратов.	0-100
	Численное дифференцирование и интегрирование
Итоговый контроль	экзамен	0-100

Политика оценивания результатов обучения по видам работ

Вид задания	90-100	70-89	50-69	0-49
	Отлично	Хорошо	Удовлетворительно	Неудовлетворительно
Работа на практических занятиях и выполнение самостоятельной паботы	выполнил практическую работу в полном объеме с соблюдением необходимой последовательности действий; в ответе правильно и аккуратно выполняет все записи, таблицы, рисунки, чертежи, графики, вычисления; правильно выполняет анализ ошибок. При ответе на вопросы правильно понимает сущность вопроса, дает точное определение и истолкование основных понятий; сопровождает ответ новыми примерами, умеет применить знания в новой ситуации; может установить связь между изучаемым и ранее изученным материалом, а также с материалом, усвоенным при изучении других дисциплин.	выполнил требования к оценке «5», но допущены 2-3 недочета. Ответ обучающегося на вопросы удовлетворяет основным требованиям к ответу на 5, но дан без применения знаний в новой ситуации, без использования связей с ранее изученным материалом и материалом, усвоенным при изучении других дисциплин; допущены одна ошибка или не более двух недочетов, обучающийся может их исправить самостоятельно или с небольшой помощью преподавателя	выполнил работу не полностью, но не менее 50% объема практической работы, что позволяет получить правильные результаты и выводы; в ходе проведения работы были допущены ошибки. При ответе на вопросы обучающийся правильно понимает сущность вопроса, но в ответе имеются отдельные проблемы в усвоении вопросов курса, не препятствующие дальнейшему усвоению программного материала; допущено не более одной грубой ошибки и двух недочетов	выполнил работу не полностью или объем выполненной части работ не позволяет сделать правильных выводов. При ответе на вопросы демонстрирует не владение основными знаниями и умениями в соответствии с требованиями программы; допущены больше ошибок и недочетов, чем необходимо для оценки 3 или не может ответить ни на один из поставленных вопросов.

Форма оценки

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

И= 0,6	Р1+Р2	+0,4Э
	2

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Оценка по буквенной системе	Цифровой эквивалент	Баллы (%-ное содержание)	Оценка по традиционной системе
A	4.0	95-100	Отлично
A-	3.67	90-94
B+	3.33	85-89	Хорошо
B	3.0	80-84
B-	2.67	75-79
C+	2.33	70-74
C	2.0	65-69	Удовлетворительно
C-	1.67	60-64
D+	1.33	55-59
D	1.0	50-54
FX	0.5	25-49	Неудовлетворительно
F	0	0-24

Темы лекционных занятий

• Численные методы теории приближений
• Полиномиальное интерполирование
• Интерполяционный многочлен Лагранжа
• Интерполяционный многочлен Ньютона
• Интерполяция сплайнами
• Интерполяционный кубический сплайн
• Интерполяция методом наименьших квадратов
• Аппроксимация функции полиномами Чебышева
• Тригонометрическая интерполяция
• Численное дифференцирование
• Численное интегрирование
• Простейшие квадратурные формулы
• Формула трапеции
• Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве
• Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении

Основная литература

• Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения Изд-во "Лань", 2022. -400 с
• Даугавет И. К. Д21. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. —. 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 288 с.: ил. ISBN 5-94157-737-0.
• Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Учебное пособие. Л., Изд-во Ленинrр. ун-та, 1977. 184 с.
• Гулевич Д.Р., Залипаев В.В., Численные методы в физике и технике– СПб:Университет ИТМО, 2020. – 211 с.
• Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков.-7-е изд.-М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,2011.-636 с.
• Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989
• Бахвалов Н.С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000.