Analysis and theory of the asymptotic approximation

Description: Дисциплина "Анализ и теория асимптотического приближения" изучает методы приближённого анализа решений сложных математических задач, особенно дифференциальных уравнений, с помощью асимптотических методов. В центре внимания – исследование поведения решений при наличии малых параметров и предельных переходов. Основные техники включают разложения решений в асимптотические ряды, а также методы решения уравнений с регулярными и сингулярными возмущениями. Дисциплина важна для решения задач в физике, механике и инженерии, где точные решения зачастую недоступны.

Amount of credits: 5

Пререквизиты:

• Mathematical Analysis 2

Course Workload:

Component: Component by selection

Cycle: Base disciplines

Goal

• изучение методов приближённого анализа сложных математических задач, в частности дифференциальных уравнений, при наличии малых параметров и исследование асимптотического поведения решений. Это позволяет эффективно решать задачи, для которых точные решения либо неизвестны, либо слишком сложны для вычисления.

Objective

• Изучить основные понятия и методы асимптотического анализа, такие как символы Ландау, асимптотические последовательности и ряды;
• Освоить методы разложения решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, включая метод степенных рядов;
• Проанализировать особенности решений дифференциальных уравнений с малым параметром, как для регулярно, так и для сингулярно возмущённых уравнений;
• Овладеть методами приближённого решения задач с помощью асимптотических методов, таких как метод пограничных функций для уравнений второго порядка;
• Развить навыки применения асимптотических методов к практическим задачам в математике, физике и инженерии.

Learning outcome: knowledge and understanding

• Обучающийся приобретает глубокие знания об основных понятиях и методах асимптотического анализа, включая теорию малых параметров, асимптотические разложения и методы решения дифференциальных уравнений. Понимает принципы построения приближённых решений и особенности поведения систем при предельных переходах.

Learning outcome: applying knowledge and understanding

• Обучающийся способен применять методы асимптотического анализа для решения практических задач в математике, физике и инженерии. Использует асимптотические разложения и методы пограничных функций для приближённых решений сложных дифференциальных уравнений, включая системы с малым параметром.

Learning outcome: formation of judgments

• Обучающийся умеет анализировать и оценивать применимость различных асимптотических методов для решения конкретных задач. Формирует обоснованные суждения о выборе подходящих методов для нахождения приближённых решений в зависимости от особенностей задачи.

Learning outcome: communicative abilities

• Обучающийся способен чётко и логично излагать результаты проведённого анализа, как в письменной, так и в устной форме. Умеет представлять математические идеи и методы коллегам и преподавателям, участвовать в обсуждениях, обмениваться знаниями и работать в группах.

Learning outcome: learning skills or learning abilities

• Обучающийся развивает способности к самостоятельному изучению новых математических методов и теорий. Умеет эффективно использовать учебные материалы, решать задачи различной сложности и продолжать обучение на основе уже полученных знаний, совершенствуя свои навыки анализа и решения задач.

Teaching methods

Электронное обучение (e-learning): использование онлайн-платформ для доступа к образовательным ресурсам, таким как лекции, учебники, тесты и видеоуроки. Примеры: Moodle, Coursera, EdX.

Мобильное обучение (m-learning): обучение с использованием мобильных устройств, таких как смартфоны и планшеты. Это позволяет учащимся получать доступ к материалам в любое время и в любом месте.

Обучение через социальные сети и совместные платформы: использование социальных сетей, блогов, вики и других платформ для совместного обучения, обмена знаниями и взаимодействия с другими обучающимися и преподавателями

интерактивные технологии (с активными формами обучения: контролируемая беседа; модерация; мозговой штурм; мотивационная речь);

самостоятельная исследовательская работа студентов во время учебного процесса;

решение практических задач.

Assessment of the student's knowledge

Teacher oversees various tasks related to ongoing assessment and determines students' current performance twice during each academic period. Ratings 1 and 2 are formulated based on the outcomes of this ongoing assessment. The student's learning achievements are assessed using a 100-point scale, and the final grades P1 and P2 are calculated as the average of their ongoing performance evaluations. The teacher evaluates the student's work throughout the academic period in alignment with the assignment submission schedule for the discipline. The assessment system may incorporate a mix of written and oral, group and individual formats.

The evaluating policy of learning outcomes by work type

Evaluation form

The student's final grade in the course is calculated on a 100 point grading scale, it includes:

• 40% of the examination result;
• 60% of current control result.

The final grade is calculated by the formula:

 

Where Midterm 1, Midterm 2are digital equivalents of the grades of Midterm 1 and 2;

E is a digital equivalent of the exam grade.

Final alphabetical grade and its equivalent in points:

The letter grading system for students' academic achievements, corresponding to the numerical equivalent on a four-point scale:

Topics of lectures

• Основные понятия асимптотического анализа
• Асимптотические последовательности
• Принцип максимума
• Дифференцируемость решений по параметру
• Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
• Разложения решения по степеням малого параметра
• Асимптотический анализ решений дифференциальных уравнения с малым параметром
• Дифференциальные уравнения, регулярно зависящие от малого параметра
• Дифференциальные уравнения 1-го порядка, сингулярно зависящие от малого параметра
• Дифференциальные уравнения 2-го порядка, сингулярно зависящие от малого параметра
• Метод пограничных функций построения асимптотических разложений для уравнения 2-го порядка
• Основные понятия
• Асимптотические последовательности и асимптотические ряды
• 14
• Решение уравнений в вырожденном случае

Key reading

• Шалаумов В.А. Асимптотические методы в анализе / В.А. Шалаумов. – Кемерово: Изд-во КемГУ, 2012. – 88 с. Ильин А.М., Данилов А.Р.
• Копачевский Н.Д., Смолич В.П. Введение в асимптотические методы: Специальный курс лекций. – Симферополь: ТНУ, 2009 – 52 с.
• Ильин А. М., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 248 с. - ISBN 978-5-9221-1056-3.
• Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. – М.: Наука, 1978.
• Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды / М.В. Федорюк. – М.: Наука, 1987. – 544с.
• Брейн, Николас Говард де. Асимптотические методы в анализе [Текст] / Перевод с англ. М. А. Евграфова. - Москва : Изд-во иностр. лит., 1961. - 247 с.