Анализ и теория асимптотического приближения

Описание: Дисциплина "Анализ и теория асимптотического приближения" изучает методы приближённого анализа решений сложных математических задач, особенно дифференциальных уравнений, с помощью асимптотических методов. В центре внимания – исследование поведения решений при наличии малых параметров и предельных переходов. Основные техники включают разложения решений в асимптотические ряды, а также методы решения уравнений с регулярными и сингулярными возмущениями. Дисциплина важна для решения задач в физике, механике и инженерии, где точные решения зачастую недоступны.

Количество кредитов: 5

Пререквизиты:

• Математический анализ 2

Трудоемкость дисциплины:

Компонент: Компонент по выбору

Цикл: Базовые дисциплины

Цель

• изучение методов приближённого анализа сложных математических задач, в частности дифференциальных уравнений, при наличии малых параметров и исследование асимптотического поведения решений. Это позволяет эффективно решать задачи, для которых точные решения либо неизвестны, либо слишком сложны для вычисления.

Задача

• Изучить основные понятия и методы асимптотического анализа, такие как символы Ландау, асимптотические последовательности и ряды;
• Освоить методы разложения решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, включая метод степенных рядов;
• Проанализировать особенности решений дифференциальных уравнений с малым параметром, как для регулярно, так и для сингулярно возмущённых уравнений;
• Овладеть методами приближённого решения задач с помощью асимптотических методов, таких как метод пограничных функций для уравнений второго порядка;
• Развить навыки применения асимптотических методов к практическим задачам в математике, физике и инженерии.

Результат обучения: знание и понимание

• Обучающийся приобретает глубокие знания об основных понятиях и методах асимптотического анализа, включая теорию малых параметров, асимптотические разложения и методы решения дифференциальных уравнений. Понимает принципы построения приближённых решений и особенности поведения систем при предельных переходах.

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Обучающийся способен применять методы асимптотического анализа для решения практических задач в математике, физике и инженерии. Использует асимптотические разложения и методы пограничных функций для приближённых решений сложных дифференциальных уравнений, включая системы с малым параметром.

Результат обучения: формирование суждений

• Обучающийся умеет анализировать и оценивать применимость различных асимптотических методов для решения конкретных задач. Формирует обоснованные суждения о выборе подходящих методов для нахождения приближённых решений в зависимости от особенностей задачи.

Результат обучения: коммуникативные способности

• Обучающийся способен чётко и логично излагать результаты проведённого анализа, как в письменной, так и в устной форме. Умеет представлять математические идеи и методы коллегам и преподавателям, участвовать в обсуждениях, обмениваться знаниями и работать в группах.

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• Обучающийся развивает способности к самостоятельному изучению новых математических методов и теорий. Умеет эффективно использовать учебные материалы, решать задачи различной сложности и продолжать обучение на основе уже полученных знаний, совершенствуя свои навыки анализа и решения задач.

Методы преподавания

Электронное обучение (e-learning): использование онлайн-платформ для доступа к образовательным ресурсам, таким как лекции, учебники, тесты и видеоуроки. Примеры: Moodle, Coursera, EdX.

Мобильное обучение (m-learning): обучение с использованием мобильных устройств, таких как смартфоны и планшеты. Это позволяет учащимся получать доступ к материалам в любое время и в любом месте.

Обучение через социальные сети и совместные платформы: использование социальных сетей, блогов, вики и других платформ для совместного обучения, обмена знаниями и взаимодействия с другими обучающимися и преподавателями

интерактивные технологии (с активными формами обучения: контролируемая беседа; модерация; мозговой штурм; мотивационная речь);

самостоятельная исследовательская работа студентов во время учебного процесса;

решение практических задач.

Оценка знаний обучающегося

Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.

Политика оценивания результатов обучения по видам работ

Форма оценки

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Основные понятия асимптотического анализа
• Асимптотические последовательности
• Принцип максимума
• Дифференцируемость решений по параметру
• Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
• Разложения решения по степеням малого параметра
• Асимптотический анализ решений дифференциальных уравнения с малым параметром
• Дифференциальные уравнения, регулярно зависящие от малого параметра
• Дифференциальные уравнения 1-го порядка, сингулярно зависящие от малого параметра
• Дифференциальные уравнения 2-го порядка, сингулярно зависящие от малого параметра
• Метод пограничных функций построения асимптотических разложений для уравнения 2-го порядка
• Основные понятия
• Асимптотические последовательности и асимптотические ряды
• 14
• Решение уравнений в вырожденном случае

Основная литература

• Шалаумов В.А. Асимптотические методы в анализе / В.А. Шалаумов. – Кемерово: Изд-во КемГУ, 2012. – 88 с. Ильин А.М., Данилов А.Р.
• Копачевский Н.Д., Смолич В.П. Введение в асимптотические методы: Специальный курс лекций. – Симферополь: ТНУ, 2009 – 52 с.
• Ильин А. М., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 248 с. - ISBN 978-5-9221-1056-3.
• Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. – М.: Наука, 1978.
• Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды / М.В. Федорюк. – М.: Наука, 1987. – 544с.
• Брейн, Николас Говард де. Асимптотические методы в анализе [Текст] / Перевод с англ. М. А. Евграфова. - Москва : Изд-во иностр. лит., 1961. - 247 с.