Введение в гармонический анализ

Описание: Раздел математического анализа, в котором изучаются свойства функций с помощью представления их в виде рядов или интегралов Фурье. Также метод решения задач с помощью представления функций в виде рядов или интегралов Фурье. Основные объекты изучения классического гармонического анализа: тригонометрические ряды, преобразование Фурье, почти периодические функции, ряды Дирихле. Решение задач в Matlab

Количество кредитов: 6

Трудоемкость дисциплины:

Компонент: Вузовский компонент

Цикл: Базовые дисциплины

Цель

• Повышение уровня профессиональной компетентности студентов, формирование понятия о технических возможностях одного из разделов современного анализа и роли преобразования Фурье в задачах теории зашиты информации.

Задача

• Изучить основные технические средства современного гармонического анализа: максимальные функции, свертки, интерполяционные теоремы
• изучить основные свойства преобразования Фурье функций;
• подготовить обучающихся к использованию преобразования Фурье в задачах теории зашиты информации.

Результат обучения: знание и понимание

• Свойств максимальных функций и аппроксимативных единиц для оценки операторов гармонического анализа;
• Основных свойств преобразования Фурье;
• Теоретических и практических навыки основ гармонического анализа в математике;

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Методов доказательств свойств преобразования Фурье;
• Самообразования и способами использования аппарата преобразования Фурье для проведения математических исследований.

Результат обучения: формирование суждений

• Интегрировать знания, справляться со сложностями и выносить суждения на основе неполной или ограниченной информации с учетом этической и социальной ответственности за применения этих суждений и знаний;
• Анализировать и принимать решения по социальным, этическим, научным и техническим проблемам, возникающим в профессиональной деятельности.
• Представление о подходах к решению нестандартных задач и поиска новых оригинальных идей и методов проектирования;

Результат обучения: коммуникативные способности

• Проявлять инициативу и креативность, в том числе в нестандартных ситуациях.

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• Способность к самостоятельной научно-исследовательской деятельности (анализ, сопоставление, систематизация, абстрагирование, моделирование, проверка достоверности данных, принятое решений и др.),
• Способность к постоянному самообразованию;

Методы преподавания

Подготовка и защита студентами докладов и обзоров литературы по заданной теме позволяет расширить научный кругозор студентов, повысить навык работы с учебной и научной отечественной и зарубежной литературой, развить языковые навыки, повысить математическую подготовку, укрепить междисциплинарные связи, развить навык систематизировать и свободно излагать перед аудиторией материал по заданной теме, заложить основы для дальнейшей исследовательской работы.

Темы лекционных занятий

• Гармонический анализ
• Ортогональные и ортонормированные системы
• Ортогональный ряд по ортонормированной системе
• Общий ряд Фурье
• Тригонометрическая система и ее свойства
• Признаки сходимости ряда Фурье
• Теорема о дифференцировании ряда Фурье
• Тригонометрический интеграл и интеграл Фурье
• Теорема о непрерывности специального несобственного интеграла, зависящего от параметра
• Теорема о дифференцировании по параметру специального несобственного интеграла
• Теорема об интегрировании в конечных пределах по параметру специального несобственного интеграла
• разложение в ряд Фурье
• Гармонический анализ и синтез сигналов

Основная литература

• 1.Зорич анализ. Т.2. – М.: Наука, 2005.
• 2. Садовничий и упражнения по математическому анализу. Книга 2. – М.: Высшая школа, 2010.

Дополнительная литература

• 1.Власова Е.А. Ряды. М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. – 612 с.
• 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 2. М.: Наука, 2010.
• 3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. М.: Айрис-пресс, 2011. – 608 с.
• 4. http://www.mathprofi.ru/
• 5. http://ru.wikipedia.org
• 6. http://www.math24.ru/definition-of-fourier-series.html