Математический анализ

内容描述: Рассматриваемые в этих разделах современные методы математического анализа составляют основу для дальнейшего изучения цикла математических дисциплин, а также позволяют моделировать и исследовать простейшие прикладные задачи в различных отраслях прикладных наук. Дисциплина содержит разделы: введение в математический анализ; дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных и их приложения. Числовые и функциональные ряды.

贷款数: 8

Пререквизиты:

• Математика. Школьный курс

*СomplexityDiscipline(zh-CN)*:

零件: Вузовский компонент

循环次数: Базовые дисциплины

Цель

• Цель изучения дисциплины: Курс математического анализа является фундаментом математического образования специалиста по математическому моделированию и в рамках этого курса проводится ориентирование на приложение математических методов в профессиональной деятельности.

Задача

• Задачи изучения дисциплины: - овладение основными положениями классических разделов математического анализа, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, понимание общей структуры математического знания, взаимосвязи между различными математическими дисциплинами, умение реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем

Результат обучения: знание и понимание

• Знание и понимание : знание и понимание основных математических определений, теорем и др. теоретических сведений курса «Математический анализ », а также знание типов задач решаемых теми или иными математическими методами;

Результат обучения: применение знаний и пониманий

• Применение знаний и умений: применение знаний и умений в формулировании прикладных практических задач математическими методами, а также применение известных методов для решения сформулированных задач;

Результат обучения: формирование суждений

• Формирование суждений: умение на основе имеющихся знаний дисциплины " Математический анализ" делать выводы о возможных методах анализа и решения практических задач в специальной области;

Результат обучения: коммуникативные способности

• Коммуникативные способности: умение работать в коллективе для эффективного решения поставленных практических задач на основе знаний математических методов;

Результат обучения: навыки обучения или способности к учебе

• Навыки обучения или способности к учебе : способность самостоятельного или на основе учебных образовательных программ повышения квалификации в области математических знаний в целях соответствия современным требованиям специальности.

*TeachingMethods(zh-CN)*

интерактивные технологии обучения;

компьютерные технологии обучения;

самостоятельная исследовательская работа студентов во время учебного процесса.

*AssessmentKnowledge(zh-CN)*

Преподаватель проводит все виды работ текущего контроля и выводит соответствующую оценку текущей успеваемости обучающихся два раза в академический период. По результатам текущего контроля формируется рейтинг 1 и 2. Учебные достижения обучающегося оцениваются по 100-балльной шкале, итоговая оценка Р1 и Р2 выводится как средняя арифметическая из оценок текущей успеваемости. Оценка работы обучающегося в академическом периоде осуществляется преподавателем в соответствии с графиком сдачи заданий по дисциплине. Система контроля может сочетать письменные и устные, групповые и индивидуальные формы.

*PolicyAssignmentTask(zh-CN)*

*EvaluationForm(zh-CN)*

Итоговая оценка знаний обучающего по дисциплине осуществляется по 100 балльной системе и включает:

• 40% результата, полученного на экзамене;
• 60% результатов текущей успеваемости.

Формула подсчета итоговой оценки:

 

где, Р₁, Р₂ – цифровые эквиваленты оценок первого, второго рейтингов соответственно; Э – цифровой эквивалент оценки на экзамене.

Итоговая буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах:

Буквенная система оценки учебных достижений обучающихся, соответствующая цифровому эквиваленту по четырехбалльной системе:

Темы лекционных занятий

• Функция, её области определения и значений. Различные способы задания функций. Сложная и обратная функции. Основные элементарные функции.
• Последовательность и её предел. Единственность предела сходящейся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Монотонные последовательности. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности.Число «е».
• Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений предела функции в точке. Односторонние пределы. Критерий Коши существования предела функции.Свойства пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. «Замечательные» пределы. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
• Непрерывность функции в точке. Эквивалентные определения непрерывности. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции и их классификация. Существование односторонних пределов у монотонной функции. Понятие равномерной непрерывности функции.
• Понятие производной. Односторонние производные. Геометрический и механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции. Дифференцируемость функции, её дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Производные функций заданных неявно и параметрически.
• Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора. Правило Лопиталя. Экстремумы функции. Стационарные точки. Необходимые условия экстремума функции, имеющей производную. Достаточные условия экстремума функции (исследование по первым и высшим производным). Выпуклые функции, условия выпуклости функции. Точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции при построении графика.
• Функция нескольких переменных. График функции двух переменных. Предел, непрерывность и точки разрыва для функции двух переменных. Частные и полные приращения функции. Частные производные и дифференциалы функций двух переменных. Дифференцирование сложных и неявных функций. Производная по направлению. Градиент функции. Касательная плоскость и нормаль.
• Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Наименьшее и наибольшее значения в замкнутой области. Условный экстремум.
• Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: интегрирование заменой переменной(подстановка), интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование тригонометрических выражений.
• Определенный интеграл. Интегральная сумма Римана. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл как функция верхнего предела и его свойства. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Основные правила интегрирования в определенном интеграле.
• Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и в полярной системе координат. Вычисление объема тела. Вычисление длины дуги.
• Несобственные интегралы. Сходимость и расходимость в несобственных интегралах.
• Теория рядов. Сходимость и суммируемость числовых рядов. Основные понятия. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши о сходимости. Необходимый признак сходимости рядов. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признак сравнения, Коши, Даламбер, радикальный признак, интегральный признак Коши.
• Знакочередующиеся числовые ряды. Понятия об абсолютной и условной сходимости числовых рядов. Признаки сходимости Дирихле и Абеля для знакопеременных числовых рядов. Признак Лейбница. Действия над сходящимися рядами (переместительное и сочетательное свойства).
• Функциональные последовательности и функциональные ряды. Понятие функционального ряда и его сходимость в точке и на множестве. Равномерная сходимость на множестве. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Признаки равномерной сходимости функционального ряда: Вейерштрасса, Дирихле, Абеля. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда. Степенной ряд и область сходимости. Радиус сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложение некоторых функций в ряд Тейлора. Некоторые применение степенных рядов.

Основная литература

• Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – СПб.: Лань, 2018.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Дрофа, 2016.
• Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учебное пособие для вузов, Б. П. Демидович, Москва: АСТ, 2014.
• Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. – М. : Физматлит, 2018. – 496 с.
• Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Интеграл - Пресс, 2015, Т.1.
• Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.М.:Наука, 2019г.

Дополнительная литература

• Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель-АСТ, 2019.
• Китапбаев М.К., Сидоренко В.Н., Чи-Дун-Чи Ю.В. Высшая математика в вопросах и задачах. Дифференциальное и интегральное исчисление.- У-ка, ВКГТУ, 2002.
• Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике (типовые расчеты). – СПб.: Лань, 2015.
• Рябушко А.П., Бархатов В. В и др. Индивидуальные задания по высшей математике.- Алматы: Образование и наука, 2013, Ч 1.